Vi phân là phương pháp để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số y = f(x), với x là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của y tương ứng khi x biến thiên, và còn được gọi là đạo hàm của f đối với x. Nếu x và y đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong mặt phẳng tọa độ.

Độ dốc của hàm số bậc nhất: m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

Ta xét trường hợp đơn giản nhất: gọi y là hàm số bậc nhất của x, khi đó đồ thị của hàm là một đường thẳng. Trong trường hợp này, y = f(x) = mx + b với m và b là các số thực và hệ số góc m được tính bằng công thức:

m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

trong đó Δ (delta) là viết tắt của "thay đổi", Δx (số gia đối số) và Δy (số gia hàm số) chỉ sự biến thiên của x và y, Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)} . Công thức trên được chứng minh do:

y + Δ y = f ( x + Δ x ) = m ( x + Δ x ) + b = m x + m Δ x + b = y + m Δ x . {\displaystyle {\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}}

Suy ra

Δ y = m Δ x . {\displaystyle \Delta y=m\Delta x.}

Biểu thức trên cho ta giá trị hệ số góc của một đường thẳng.

Nếu f không phải là hàm bậc nhất (đồ thị của nó không phải là đường thẳng), tỉ số Δ y Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} sẽ khác nhau trên giới hạn được xét: phép vi phân là cách để tìm tốc độ thay đổi của hàm tại bất kì giá trị nào của x. Ý tưởng trên được thực hiện bằng cách tìm giới hạn của Δ y Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} khi Δx tiến dần về 0, thể hiện qua hình 1, 2, 3.

Kí hiệu

Đạo hàm có hai kí hiệu phổ biến, được đặt theo tên của hai nhà toán học Leibniz và Joseph Louis Lagrange.

Trong kí hiệu Leibniz, sự biến thiên rất nhỏ của x gọi là dx nên đạo hàm của y đối với x được viết là:

d y d x {\displaystyle {dy \over dx}}

chỉ tỉ số của hai đại lượng rất nhỏ.

Trong kí hiệu Lagrange, đạo hàm của x đối với hàm số f(x) là f'(x) hoặc fx′(x).

Định nghĩa

Một cát tuyến dần trở thành tiếp tuyến khi Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\to 0} .

Từ ý tưởng trực quan trên, người ta xây dựng định nghĩa đạo hàm theo cách sau[1]: Gọi f là hàm số thực xác định trên một lân cận mở của số thực a. Trong hệ trục tọa độ, tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại a là đường thẳng duy nhất tiếp xúc với đồ thị tại điểm (a, f(a)). Hệ số góc m của tiếp tuyến đó rất gần với hệ số góc của đường cát tuyến cắt đồ thị tại (a, f(a)) và điểm lân cận (a + h, f(a + h)). Nếu giá trị (tuyệt đối) của h càng gần bằng 0 thì giá trị m càng chính xác. m được tính bằng tỉ sai phân Newton, tức là bằng khoảng cách giữa hai giá trị y của hai điểm trên chia cho khoảng cách giữa hai giá trị x:

m = Δ f ( a ) Δ a = f ( a + h ) − f ( a ) ( a + h ) − ( a ) = f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

Vì giới hạn của cát tuyến là tiếp tuyến của đồ thị nên giới hạn của biểu thức trên khi h tiến về 0 (nếu có) là hệ số góc của tiếp tuyến tại (a, f(a)). Giới hạn đó chính là đạo hàm của hàm số f tại a:

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

Khi giới hạn này tồn tại, f được gọi là hàm số khả vi tại a. Từ định nghĩa trên, rõ ràng hàm số khả vi f là hàm số tăng khi và chỉ khi đạo hàm của nó dương, và là hàm số giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó âm. Điều này được ứng dụng trong việc khảo sát tính đơn điệu hay tìm các điểm cực trị của hàm.

Tương tự, một tính chất khác của đạo hàm là

lim h → 0 f ( a + h ) − ( f ( a ) + f ′ ( a ) ⋅ h ) h = 0 , {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,}

đã làm sáng tỏ rằng tiếp tuyến của f tại a (hình 1) cho ta phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất:

f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h {\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}

với h rất nhỏ.

Tuy nhiên nếu h bằng 0 thì tỉ sai phân trên không xác định vì không tồn tại phép chia cho số 0. Thay vào đó, ta đặt Q(h) là tỉ sai phân như là hàm số biến h:

Q ( h ) = f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}

Q(h) là hệ số góc của cát tuyến giữa (a, f(a)) và (a + h, f(a + h)). Nếu f là hàm số liên tục (đồ thị của nó không bị đứt đoạn hay bẻ gập) thì Q là hàm số gián đoạn tại h = 0. Nếu tồn tại giới hạn limh→0Q(h), tức là có thể gán một giá trị bất kì cho Q(0) để Q là hàm số liên tục, thì f có đạo hàm trên a và đạo hàm đó bằng Q(0).

Trong thực tế, người ta thường mở rộng thêm tính liên tục của tỉ sai phân Q(h) tại h = 0 bằng cách biến đổi tử số để loại h ở mẫu. Thao tác này giúp giới hạn của Q rõ ràng và chính xác hơn, dù Q vẫn không xác định tại h = 0, tuy nhiên quá trình có thể kéo dài lâu với các hàm số phức tạp.

Ví dụ

Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai f(x) = x2 có đạo hàm tại x = 3 và đạo hàm đó bằng 6. Điều này có được bằng cách tính giới hạn của tỉ sai phân của f(3) khi h tiến về 0:

f ′ ( 3 ) = lim h → 0 f ( 3 + h ) − f ( 3 ) h = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = lim h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}

Ta thấy tỉ sai phân trên bằng 6 + h khi h ≠ 0 và không xác định khi h = 0. Giới hạn của nó là kết quả của việc cho h về 0 và là giá trị của 6 + h khi h trở nên rất nhỏ:

lim h → 0 ( 6 + h ) = 6 + 0 = 6. {\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}

Vậy hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm (3, 9) là 6 và đạo hàm của hàm số tại x = 3 là f′(3) = 6.

Tổng quát, đạo hàm của hàm số bậc hai tại x = a là f′(a) = 2a:

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = lim h → 0 ( a + h ) 2 − a 2 h = lim h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 − a 2 h = lim h → 0 2 a h + h 2 h = lim h → 0 ( 2 a + h ) = 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}

Tính khả vi và tính liên tục

Hàm số này không có đạo hàm tại điểm được đánh dấu vì nó không liên tục tại đó.

Nếu f có đạo hàm tại a thì f cũng phải liên tục trên a. Lấy ví dụ, chọn một điểm a và coi f như là một hàm bước có giá trị là 1 với mọi x nhỏ hơn a và 10 với mọi x lớn hơn hoặc bằng a. f không thể có đạo hàm tại a. Nếu h âm thì cát tuyến từ a đến a + h sẽ rất dốc, và khi h dần về 0 thì hệ số góc sẽ dần đến vô cực. Nếu h dương thì cát tuyến từ a đến a + h có hệ số góc bằng 0. Trong mỗi trường hợp trên, cát tuyến không đạt đến một hệ số góc duy nhất, nên giới hạn của tỉ sai phân không tồn tại.

Hàm giá trị tuyệt đối là hàm liên tục, nhưng không khả vi tại x = 0 vì các giá trị hệ số góc của tiếp tuyến vẽ từ bên trái trục tung và từ bên phải trục tung là không bằng nhau

Tuy vậy, một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm giá trị tuyệt đối f(x) = | x | liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Nếu h dương thì hệ số góc của cát tuyến từ 0 đến h là 1, còn nếu h âm thì hệ số góc đó bằng -1. Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số đó bị "bẻ gập" tại x = 0. Kể cả hàm số có đồ thị trơn cũng không khả vi tại một điểm mà tiếp tuyến qua nó nằm dọc, chẳng hạn, hàm số f(x) = x1/3 không có đạo hàm tại x = 0.

Tóm lại, một hàm số có đạo hàm là hàm số liên tục, nhưng có những hàm liên tục lại không có đạo hàm.

Phần lớn hàm số trong thực tế có đạo hàm tại mọi điểm (hoặc tại hầu hết mọi điểm). Trong thời kì đầu của lịch sử ngành giải tích, nhiều nhà toán học cho rằng một hàm số liên tục luôn có đạo hàm tại nhiều điểm. Năm 1872, Weierstrass phát hiện ví dụ đầu tiên về một hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi tại bất cứ đâu. Hàm đó sau này được đặt tên là hàm Weierstrass. Năm 1931, Stefan Banach chứng minh được rằng tập hợp các hàm số có đạo hàm tại một số điểm nhất định là tập con rất nhỏ so với tập hợp các hàm liên tục.[2]

Đạo hàm là một hàm số

Gọi f là hàm số luôn có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định. Chúng ta có thể tìm được một hàm số mà với x bất kì, giá trị của hàm bằng với giá trị của đạo hàm của f tại x. Hàm số đó được gọi là đạo hàm của f và kí hiệu là f'.

Thỉnh thoảng f có đạo hàm tại phần lớn điểm trên tập xác định (không phải mọi điểm). Hàm số mà giá trị của nó tại a bằng f′(a) khi f′(a) xác định, và không xác định tại mọi điểm khác, cũng được gọi là đạo hàm của f, dù tập xác định của nó hoàn toàn nhỏ hơn.

Bằng ý tưởng này, phép vi phân trở thành một hàm hợp: đạo hàm là một toán tử mà tập xác định của nó là tập hợp tất cả các hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định và tập hợp đích của nó là một tập hợp các hàm số. Kí hiệu toán tử trên là D thì D(f) là hàm số f'. D(f) là hàm số xác định tại a nên ta có D(f)(a) = f′(a).

Để so sánh, ta xét hàm số f(x) = 2x: f là hàm số thực có đầu vào là một số, đầu ra cũng là một số:

1 ↦ 2 , 2 ↦ 4 , 3 ↦ 6. {\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}}

Toán tử D chỉ xác định trên các hàm số:

D ( x ↦ 1 ) = ( x ↦ 0 ) , D ( x ↦ x ) = ( x ↦ 1 ) , D ( x ↦ x 2 ) = ( x ↦ 2 ⋅ x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}}

Đầu ra của D là một hàm số, có thể định được giá trị tại một điểm. Ví dụ: đầu vào của D là x ↦ x2 cho đầu ra x ↦ 2x mà ta gọi là f(x). Các giá trị tương ứng của đầu ra đó là f(1) = 2, f(2) = 4,...

Đạo hàm cấp cao

Gọi f là hàm số khả vi và f ' là đạo hàm của nó. Đạo hàm của f ' (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp hai của f và kí hiệu là f ′′. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp ba của f và kí hiệu là f ′′′. Cứ như vậy, ta xác định đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1. Các đạo hàm trên được gọi chung là đạo hàm cấp cao.

Nếu x(t) mô tả vị trí của một vật ở thời gian t thì mỗi đạo hàm cấp cao của x mang một ý nghĩa riêng trong vật lý. Đạo hàm cấp một của x là vận tốc của vật. Đạo hàm cấp hai của x là gia tốc. Đạo hàm cấp ba của x là độ giật,...

Một hàm số f không cần phải có đạo hàm (chẳng hạn, nếu hàm đó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi f có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Chẳng hạn, cho hàm số

f ( x ) = { + x 2 , khi  x ≥ 0 − x 2 , khi  x ≤ 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{khi }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{khi }}x\leq 0.\end{cases}}}

f là hàm số khả vi và đạo hàm của nó tại x là

f ′ ( x ) = { + 2 x , khi  x ≥ 0 − 2 x , khi  x ≤ 0. {\displaystyle f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{khi }}x\geq 0\\-2x,&{\text{khi }}x\leq 0.\end{cases}}}

f'(x) không có đạo hàm tại x = 0. Những ví dụ tương tự cho thấy một hàm số có thể có đạo hàm cấp k (với k là số nguyên dương) nhưng không có đạo hàm cấp k + 1. Một hàm số có k đạo hàm liên tiếp thì khả vi k lần. Nếu đạo hàm thứ k là liên tục thì hàm số sẽ thuộc lớp khả vi Ck. Một hàm số có vô số đạo hàm là hàm khả vi vô hạn.

Trên trục số thực, mọi hàm số đa thức đều là hàm khả vi vô hạn. Theo quy tắc tính đạo hàm, đa thức bậc n sau n lần vi phân sẽ thành hàm hằng, và mọi đạo hàm tiếp theo đều bằng 0.

Đạo hàm của hàm số f tại một điểm x cho ta phép tính đa thức gần đúng với một hàm gần x. Ví dụ, nếu f khả vi hai lần thì

f ( x + h ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) h + 1 2 f ″ ( x ) h 2 {\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}

vì

lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) − f ′ ( x ) h − 1 2 f ″ ( x ) h 2 h 2 = 0. {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}

Nếu f khả vi vô hạn thì đây là phần đầu của chuỗi Taylor với f tính được tại x + h gần với x.

Điểm uốn

Một điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số đổi dấu được gọi là điểm uốn.[3] Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai có thể bằng 0 (như tại điểm uốn x = 0 của hàm số f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} ) hoặc không tồn tại (như tại điểm uốn x = 0 của hàm số f ( x ) = x 1 3 {\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{3}}} ). Tại điểm uốn, hàm số chuyển từ hàm lồi sang hàm lõm và ngược lại.